【雑学】円の面積はなぜ半径×半径×円周率なの？？
みなさんこんにちは。
わたしは家庭教師をやっているのですがつい先日小学生の子からこんな質問が。
｢先生、なんで円の面積の求め方って半径×半径×3.14（円周率）なの？｣
確かに。なんでだろう。。
その子いわく「半径×半径なんてしたらびよーんって伸びるじゃん。」と言っていた。
小学生の無限のイメージ力！！笑
純粋でいいですよね。
言葉に表すのが難しいのだが簡単に言うと、半径×半径なんてしてたら問題の円より大きくならないの？ということである。（はず）
ということで、円の面積はなぜ半径×半径×円周率なのかを解説してみます。
そもそも円周率とは？
ウィキペディアを借りるとこのように記載があります。
円周率
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
円周率（えんしゅうりつ）は、円の周長の、直径に対する比率として定義される数学定数である。
円の直径に対する比率なのです。
だから円周が直径×円周率なのですね。
補足：円周率の求め方
円周率、あの3.141592…のあれ。
これはどうやって求めているのか。
詳しいことは割愛しますが結局は「正多角形による絞り込み」です！
やることは簡単。
直径1㎝の円とそれに内接、外接する正多角形を1つずつ用意する。（例えば内接6角形と外接6角形という風に）
そうすると明らかに
内接〇角形の周の長さ＜円周＜外接〇角形の周の長さとなる
たとえば正方形でやってみよう。
内接正方形は斜辺が1なので正方形の一辺は√2/2となるので周の長さは
√2/2×4で2√2
外接正方形は直径が1なので４である
そうすると
2√2＜円周＜4
2.828＜円周＜4（√2≒1.414で計算）となりこの数字の間にあることがわかる。
これをどんどん大きな多角形でやると間が狭くなるのでより絞れてくるというわけです。
大きな多角形の時は三角関数を使いそうですね。
たぶんゴリゴリと計算していくんでしょう。笑
さて、少し脱線しましたがこの円の面積の公式に戻りましょう。
円の面積はなぜ半径×半径×円周率なのか
答えは｢円を長方形と見ること｣である。
まず円周上の点から中心に線を無数に引っ張る。
こんな感じ。
図の都合で16分割なのだが大目に見てください。笑
そしてそれを交互に組み合わせる。
そうすると1つの長方形ができ上がる。
もちろん縦は半径。
横は円周の半分になる。
ここで円周の求め方を思い出して欲しい。
円周=直径(半径ⅹ2)×円周率である
ということは半円の円周は半径×円周率と表せる。
これで理解いただけただろう。
長方形の面積=たて×よこ
=半径×半径×円周率
こういう理論なのである。
当たり前に疑問を持ってみる
小学6年生の時に習うのだが当時の先生からも円の面積の求め方はこれです！！って感じで暗記感満載だった。
生徒も小学校の先生にこれはこうですーって言われただけらしい。
小学校でも少しくらいは原理を教えてもいいのではないだろうか。
円の面積と言えば半径×半径×円周率という風に1対1対応で、
なんでだろうなんて考えたことも無かった。
小学生の洞察力には驚かされるばかりである。
普段はいはいと受け入れているものでも実際はその根本や原理を分かってなかったりする。
また他人によって気付かされたりもする。
自分はまだまだ未熟だしたくさん学んでいかないとなあと感じたあの日でした。笑
日々何か発見があると面白いですね！！
